Родился 1 (13) сентября 1811 года в Санкт-Петербурге (по другим сведениям - в имении Барницы Псковской губернии) в семье предводителя уездного дворянства и мирового судьи, принадлежавшего к боковой ветви древнего рода столбовых бояр Пущиных — Ивана Андреевича Никонова. На самом деле документально подтверждено, что его отца звали Иваном Михайловичем. В чине титулярного советника и кавалера на протяжении многих лет он служил в Адмиралтейств-коллегии (после реорганизации 1827 года Адмиралтейств-совете) экзекутором, и в Петербурге, где в действительности родились его сыновья, поживал в собственном доме в 4 Адмиралтейской части.
С 1823 года он был отдан в гимназические классы при Морском кадетском корпусе и лишь в 1827 году в возрасте 15-ти лет по личному обращению, а также прошению отца на Высочайшее имя вместе с братом Петром был допущен к конкурсным экзаменам, по результатам которых вступил в службу кадетом Морского корпуса. Выпущен в гардемарины в марте 1829 года с назначением на бриг «Парис». Здесь почти через два года, в первый день января 1831 года он был произведен в мичманы с назначением в 20 флотский экипаж Балтийского флота. Вначале на «Парисе» А. И. Никонов плавал по Балтийскому морю. В 1835 году «Парис» перешел из Архипелага в Севастополь и в дальнейшем находился в плаваниях по Черному морю. Вскоре бриг был включён в состав Черноморского флота, после чего А. И. Никонов простился со своим кораблём, на котором проплавал почти семь лет и убыл в Петербург в распоряжение своего флотского экипажа. 6 апреля 1836 года ему присвоили звание лейтенанта. Незадолго до этого он был назначен на парусный линейный корабль «Полтава» адъютантом командира 1 бригады 3 флотской дивизии. В этой должности в плаваниях на «Полтаве» по Финскому заливу он провёл две кампании, пока в 1838 году не был переведен в Севастополь в 32-й флотский экипаж с назначением адъютантом начальника штаба Черноморского флота и портов контр-адмирала С. П. Хрущева. Плавал на пароходе «Северная звезда» и флагмане эскадры — линейном корабле «Силистрия». В 1839 году на флагманском корабле «Силистрия», участвовал в крейсерских плаваниях по Черному морю с целью предотвращения контрабандного подвоза противнику оружия, пороха и продовольствия. В одной из ночных стычек он получил тяжелое ранение в живот, после чего 6 месяцев находился на лечении. С 1841 по 1846 гг. в прежней должности А. И. Никонов крейсировал по Чёрному и Азовскому морям на фрегате «Флора», линейном корабле «Три Святителя», пароходах «Молодец» и «Инкерман». 1 января 1846 года произведен в капитан-лейтенанты с последующим назначением старшим адъютантом дежурства штаба Черноморского флота и флаг-офицером при контр-адмирале С. П. Хрущове. В 1846—1848 гг. на пароходах «Громоносец», «Северная Звезда» и фрегат «Кагул» ходил с эскадрою у восточного берега Черного моря. В 1848 году переведён в 44-й флотский экипаж командиром парохода-фрегата «Херсонес», а в марте 1851 года получил под своё командование вновь введённый в строй корвет «Ариадна» с одновременным переводом в 33-й флотский экипаж. С 2 августа 1852 года, командуя парусным корветом «Ариадна», он находился в Греции в распоряжении Российского представительства. В декабре 1853 года пришло известие о присвоении ему звания капитана 2 ранга. Ситуация обострилась 15 марта следующего года, когда в войну на стороне Турции вступили Великобритания и Франция. Теперь выход для русских кораблей из Средиземного моря был закрыт и через Гибралтарский пролив. 29 марта 1854 года «Ариадна» была продана греческому правительству. Передача корвета состоялась на следующий день в итальянском порту Триест, откуда экипаж, вместе с командами ещё двух проданных Греции бригов («Орфей» и «Персий») сухопутным путем, через Вену и Варшаву прибыл в Россию. Согласно донесению в полном составе, т. е. без единого случая дезертирства, свою команду (92 человека) привел только А. И. Никонов. Вслед за этим, отправив экипаж в Николаев, он вернулся в Севастополь, где 19 мая был назначен командиром линейного корабля «Варна» и 45-й флотским экипажем. 45-й флотский экипаж А. И. Никонова, в состав которого входила и команда линейного корабля «Варна», занимал оборону в третьей дистанции которой командовал контр-адмирал А. И. Панфилов. А. И. Никонов участвовал в ежедневных боях, отбивая до четырех атак противника в день. Батарея сражалась до последнего дня обороны Севастополя и организованно покинула свои позиции лишь после получения приказа о сдаче города. За все эти месяцы Андрей Иванович был неоднократно ранен (хотя и нетяжело). Однажды в течение дня он получил семь шрапнельных ранений, но отправился на перевязочный пункт только после окончания боя. За «выказанную» доблесть при обороне Севастополя А. И. Никонов был награждён золотой саблей с надписью «За храбрость», орденами Св. Георгия 4-й степени, Св. Анны 2-й степени с мечами и Св. Владимира 3-й степени с мечами. 6 декабря 1854 года ему было присвоено звание капитана 1 ранга. После войны А. И. Никонов получил назначение на Каспийское море с переводом в распоряжение 46-го флотского экипажа. Кампании 1859—1860 годов он провёл в плавании по Каспию, занимаясь перевозкой войск с Кавказа в Петровск-порт и Астрахань. С мая по август 1860 года А. И. Никонов исполнял делами начальника Бакинской морской станции. 26 января 1863 года, с назначением его командиром карантинного порта Одессы Андрей Иванович вернулся на Чёрное море. 1 января следующего года он был произведён в контр-адмиралы, а ещё через год вновь оказался в Севастополе на должности командира Севастопольского порта. В октябре 1868 года как имевший начальное юридическое образование, полученное в пансионе при Московском университете, он был назначен председателем Военно-морского суда в Николаеве, куда после поражения в Крымской войне был переведён Штаб Черноморского флота и подчиненные ему службы. 8 апреля 1873 года произведён в вице-адмиралы и ещё через три года вернулся в Севастополь. Произошло это 1 марта 1876 года, когда был назначен Градоначальником Севастополя, а с 1 ноября того же года и командующим приморской обороной города с подчинением ему береговых батарей, минных заграждений, судов и войск. 30 августа 1882 года он оставил должность Градоначальника Севастополя. Он был переведён в Петербург членом главного морского суда Российской империи. Ещё через восемь с половиной лет, 21 апреля 1891 года он был удостоен звания полного адмирала и в связи с отставкой с этой должности адмирала С. И. Зелёного получил назначение председателем Главного военно-морского суда. Больной 80-летний старик, он не мог не подчиниться императорской воле. А. И. Никонов успел вступить в должность, но вскоре, 25 ноября того же года умер во время судебного процесса. Адмирал Андрей Иванович Никонов был погребён в Санкт-Петербурге на Новодевичьем кладбище (13 участок).