Родился 22 сентября 1853 года в деревне Большие Наволоки Лужского уезда Петербургской губернии в многодетной семье волостного писаря Андрея Максимова (1816-?) и жены его Февронии Яковлевой. Из крепостных крестьян.
Трудовую деятельность начал чернорабочим на постройках в Николаеве, работал десятником, подрядчиком. Женился на младшей дочери Санкт-Петербургского купца 1 гильдии, подрядчика и мецената, судовладельца и судостроителя, коммерции советника С.Л. Кундышева-Володина (Апполинария Сергеевна), который также происходил из крепостных крестьян. После отмены Парижского трактата (Горчаковский циркуляр) в 70-х годах XX века с семьёй переехал в Севастополь. В 1901-1908гг. – городской голова Севастополя. Весной 1905 года он был переизбран на пост Городского головы и пробыл на этой должности до мая 1908 года, когда решением исполняющего дела Главного командира Черноморского Флота и военного губернатора контр-адмирала Р.Н. Вирена (1856-1917 гг.) был пока временно отстранен от исполнения своих обязанностей за участие в событиях 1905 года. Также ему вменялась политическая неблагонадежность одной из дочерей. В июне 1908 года П.А. Столыпин принял окончательное решение об отстранении А.А. Максимова от должности Городского головы Севастополя.
Меценат, член попечительского совета женской гимназии (1901г.) и наблюдательного комитета Севастопольского Общества взаимного страхования, председатель воинского присутствия по призыву новобранцев, попечитель Константиновского реального училища (совр. школа № 3), подрядчик в строительстве крупнейшего на Чёрном море Александровского дока.
Скончался 20 августа 1908 года в Севастополе.